怎樣培養孩子的抽象思維?準確解碼數學語言是關鍵!

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  “數感”的缺乏,孩子很容易因沒看懂題目的要求而做錯題,從而導致失去學習數學的積極性。下文中,作者根據探討常見規律類題目,分析孩子的易錯關鍵,啟發家長在輔導數學時,應將重點放在哪裏,其中培養孩子的抽象思維最重要,學會準確地將文字語言轉化為數學語言,才能將一道題目解構。

  注:本文經授權轉載自公眾號“玩轉數學思維”(ID:mathattack)。

文 | LILIAN XU編輯 | 聞琛

  

  討論回放

某個周末的一早,虎虎媽把孩子做錯的一道數學題發來數學群,希望大家幫忙一起討論,到底是孩子真的錯了,還是老師的批改太僵化武斷。

  請看下圖中的【九、2】這題:

  

  我們一致認為孩子沒什麼錯誤,孩子的思路只是跟標準答案不一樣而已。

  很不幸,我們都錯了,縱然我們不乏各種數學高手、數學專業博士,也因為匆忙一瞥而在此問題上犯了錯。我想,如果我們自己做,肯定不會出錯,但我們卻沒能鑒別出孩子的錯誤,這就是輔導數學題和自己做數學題的區別。

  下午我有空坐下來仔細看了這道題目,並且與群友展開了扣詞摳圖的討論,終於能清晰地定義出了孩子此題判錯的原因,甚至可能判錯的老師都不一定能解釋清楚。

  

  隻看此圖,孩子創造的這個規律完全無錯,甚至可以說是常見的規律模式。那麼為什麼判錯呢?因為這是在解一道數學題,無需放眼世界。這是在一定要求下的解題而不是自由地創作,判錯的原因就是因為“沒有按照題目要求”完成解題。

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  我們一起再來解讀一下題目要求:

  找規律,繼續畫下去:

  

  題目的要求是“找規律,繼續畫下去”,如果我們把這樣不怎麼專業的要求翻譯成標準的數學語言,那麼“找規律”=“識別模式”(Identify Pattern),“繼續畫下去”=“延續模式”(Extend Pattern),而孩子的解答屬於“創造模式”(Create Pattern)。這樣解構,你是否看出問題所在了?“創造模式”不是這道數學題的要求,因為題目只要求“延續模式”就可以了。就好像寫作文一樣,最差得分的作文往往都是因為偏題了。

  可能有人會問,延續模式和創造模式有什麼區別呢?要分辨此中差異,需要引入模式識別中一個非常關鍵的概念叫“模式單元”(Pattern Unit)。

  

  當能把題目圖式解構出來,就能識別出模式單元#1和模式單元#2,從而就能發現兩個單元之間發生的變化有點類似音樂中的變奏,用符號表達的話可以稱作ABABB,如果延續這個模式變奏,那麼畫下去就可以是ABABBABBBA(或者ABABBABBBBA)。

  

  我們再來解讀孩子的回答為什麼是創造模式而不是延續模式:

  

  從孩子的解答中可以看出,他對題目圖式中的模式單元是如此劃分的:從模式單元#1到模式單元#2呈現的是“重複”,也就是說模式單元#2完全copy不走樣地複製了模式單元#1。而題目的圖式中並沒有出現“重複”這個模式變化,因此孩子沒有延續,而是自己創造了“重複”這個模式。

  我沒有在孩子的數學教材中看到過這樣的概念定義和概念展開,倒是從美國一年級的數學教材中看到了Pattern Unit、Identify Patten、Copy Pattern、Extend Pattern、Create Pattern這些術語。

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  從上面這道題目分析來看,各種吐槽對孩子的數學思維都無濟於事。我們真正能做的是,在孩子做數學題時,提醒他們嚴謹地審題,準確無誤地將文字語言轉換成數學語言,借助合適的圖式表征,將題目信息完全地解構。

  數學本質上是抽象和推理的學科,所以讓孩子能掌握數學語言並通過豐富的經驗來解題,這樣的過程必然遠優於刷題和套路的學習模式。

  作為父母真正要思考的是,當滿世界的微信公眾號都在高叫“三年級數學掉隊是因為抽象思維能力弱”的時候,你確定知道什麼叫抽象思維、什麼叫抽象思維弱嗎?你確定知道該如何培養抽象思維嗎?

  卡夫卡曾說過:“相信一切事物和一切時刻的合理的內在聯系,相信生活作為整體將永遠延續下去,相信最近的東西和最遠的東西。”

  抽象,大道至簡,這就是數學思維的核心構成,當你能去除現象看本質,你本身就在著力同構這個世界。大數據喧囂的時代,真正的核心其實就是解構世界的一個個經典算法,是算法在無比深刻地表達我們身處的現實世界。

  基於這些觀察和思考,我最近考慮參考美國奧數總教頭羅博深教授的建議,把有數學興趣的孩子集結在一起,以美國的數學教材和競賽題為媒介,控製孩子人數,引入專業的輔導老師,讓孩子們在深刻地理解數學概念後掌握一定地解題技巧,同時還能掌握用英語學數學。盡管我們已經有一個家長集結的數學群,共同在群里探討如何正確地教孩子數學,但孩子的數學興趣小組依然充滿深刻的意義,美國遍地開花的Math Circle可以佐證。

  

  在本文之後,又有不少家長將討論引向深入,摘取部分,謹供參考。

  魏征

  找規律其實是找尋規律變化中那不變的部分。 例如我們常說的AB型規律,它的規律模式是 ABABABABABAB… 它每一次的延伸處在不斷變化中,即A和B的交替出現,但是我單拿出一個A或單拿出一個B都無法形成上面的模式。 但在這個規律模式中存在一個“不變”的單元就是:AB。 我將AB做為一個單元不斷的反複出現,那麼就可以得到上面的模式序列。 所以,這個“AB”就是 循環節。 題目所表達的形式給了孩子定義簡單循環節的機會,即單純的重複規律。 按題目中的“本意”規律模式,算是一個雙重規律,一是三角形和圓形交替出現,一是圓形每次+1。

  九里小叔

  關鍵在於呈現了什麼? abab是呈現了ab 循環,閉合了abba等其它規律的呈現。 這題就是要找呈現出來的規律是什麼,而不是規定一個規律。

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  魏征

  是的,孩子認為這個題目呈現出來的規律是簡單的循環規律,即ABABB、ABABB。孩子在初期認知規律過程中,對於規律序列的推理是建立在位置和序列關係上的,而隨著學習的深入逐漸可以轉化為定義模式單元。

  魏征

  其實孩子出現這樣的問題正是因為在定義規律時,忽略了 題干中至少要有兩項符合循環節,這個是根據某個規律模式定義循環節的前提! 如果孩子具備這個意識,就不會出現後面的這個錯誤。

  LILIAN

  孩子的答案沒有體現出他是否有效識別出Pattern Unit。這題目如果更完美來說,可以加一個Unit,孩子不應該存在辨識不出的問題。不過不吹毛求疵來說,題目沒有不嚴謹的問題。規律題的核心就是Identify Pattern Unit,至於Pattern Unit之間是如何變化,有多少種變化,那是可以無限想象的。

  騏寶

  我是比較喜歡留白的,不喜歡把所有原理都說透,我覺得孩子可以有自己的想法和思路,只要說得通就行。比如這道規律題,如果孩子提出他的設想,他認為可以重複,我也不會否認他,因為我覺得只要他能夠說得通就可以了。至於是否理解了規律的本義,現在理解不了,過段時間他肯定就可以理解了。

  LILIAN

  世間萬態,留白也罷,創意也罷,那是組合之美。你可以各種描繪水的形態,可以是江河,也可以是小溪,可以是滴水,可以是湧泉。BUT, “水分子是由2個氫原子+1個氧原子構成的”這個最基本的核心必須達成共識,這是組成水的一個Pattern Unit。你說想創造的組合是3個氫原子+2個氧原子,OK,沒問題,但那不是水分子,那是另外一個東西。所以,這道題目讓大家討論的意義恰是捕捉Pattern Unit。

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