高考數學:不等式6個證明技巧 壓軸題分數送上門了

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  滬江網校劉愛潔老師:人稱愛姐,首席高中數學資深教師,北京科技大學數學系研究生。所帶學生單科成績可進步20-80分,提倡快樂學習,愛上數學!

  你靠什麼衝出高考重圍?實力?運氣?解題技巧?的確,缺一不可。實力是平時日積月累的努力;技巧是你大腦中形成系統的捷徑;而運氣,則是上天犒賞給奮鬥的禮物。

  但是,高考的題目中,有80%都是中低檔難度,也就是說,要想脫穎而出成為佼佼者,壓軸題是無論如何都要攻克的難關!壓軸題目一般是開放型的題目,每年都是會變化。但大概率題目是函數、數列、圓錐曲線、不等式等知識的綜合問題。今天,我就來總結一下不等式的證明方法。

  一.比較法

  所謂比較法,就是通過兩個實數a與b的差或商的符號(範圍)確定a與b大小關係的方法,即通過

  來確定a,b大小關係的方法。

  前者為作差法,後者為作商法。但要注意作差法適用範圍較廣;作商法再用時注意符號問題,如果同為正的話是沒有問題的,同為負的話記得改變不等式的符號。

  二.分析法和綜合

  這兩個方法我們一般會一起使用,分析法是從求證的不等式出發,分析這個不等式成立的充分條件,把證明這個不等式的問題轉化為證明這些條件是否具備的問題,如果能夠肯定這些條件都已具備,那麼就可以判定所證的不等式成立。綜合法是從已知或證明過的不等式出發,根據不等式的性質及公理推導出欲證的不等式。

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  我們來看一個例題,已知

  如果要用綜合法或者分析法的話,對於過程上需要寫明,即證,所以要證,也就是說,即等價於……一些轉化的語句來過渡我們的題目,當然這兩個方法我們經常一起用,因為分析完條件,分析結論,兩個一起分析做題速度更快一些呢。

  三.反證法

  從否定結論出發,經過邏輯推理,導出矛盾,證實結論的否定是錯誤的,從而肯定原結論是正確的。這個方法其實是按照集合的補集理論來的,正難則反,但是要注意用反證法證明不等式時,必須將命題結論的反面的各種情形都要考慮到,不能少的。

  反證法證明一個命題的思路及步驟:

  1) 假定命題的結論不成立;

  2) 進行推理,在推理中出現下列情況之一:與已知條件矛盾;與公理或定理矛盾;

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  3) 由於上述矛盾的出現,可以斷言,原來的假定“結論不成立”是錯誤的;

  4) 肯定原來命題的結論是正確的。

  四.放縮法

  在證明過程中,利用不等式的傳遞性,作適當的放大或縮小,證明有更好的不等式來代替原不等式。放縮法的目的性強,必須恰到好處,。同時在放縮時必須時刻注意放縮的跨度,放不能過頭,縮不能不及,靈活性很大。(明天會另附文章詳細說明本方法哈,本篇就不詳細介紹了呢,敬請期待

  五.數學歸納法

  這個方法比較尷尬,容易的題目很好用,難的題目不好用,但是其實可以用。它的基本思路是對於含有n(n∈N)的不等式,當n取第一個值時不等式成立,如果使不等式在n=k(n∈N)時成立的假設下,還能證明不等式在n=k+1時也成立,那麼肯定這個不等式對n取第一個值以後的自然數都能成立。比如下邊這個例題,我們可以用數學歸納法,但是重點是放縮和轉化求解,這也是難點,所以數學歸納法的尷尬就在這個位置了呢,對於這個方法只能說能用就用,不能用不要勉強。

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  六.其他方法

  對於其他的方法,有換元法,均值不等式法,求導法,不一一說明,因為這幾個都很常見,還有一個要重點說明一下就是柯西不等式,這個是大學才學的內容,但是有些壓軸題目就是用這個不等式求解的,所以咱們介紹一下這個方法。

  柯西不等式可以說是我們均值不等式的高級一些的形式,證明思路也是和我們的均值不等式差不太多,所以大家對於一些知識的來源要注重一下,因為這是我們創新的基礎。

  好啦,不等式的證明方法很多種,本文僅僅總結一些常見的方法,大家做題的時候要好好思考,好好的做一下,才能真正的學有所得。

  在高考剩餘的時間內里要多去思考題目的突破點,不要隻看結論。做題應該思考的是我如果沒有答案下一次遇見這個類型的題目應該如何進行下手,如何進行求解做題,如何保證得分。希望總結的這幾個技巧對大家是有幫助的,高考數學壓軸題所需要的不等式的技巧還是蠻多的。高考學子們,加油!

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本文為滬江劉愛潔老師原創,如轉載請標明。

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