為什麼0不能作為除數?真正的原因是……

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  作者 - [日]櫻井進

  題圖 - 子曰

  來源 - 好玩數學

  摘自 - 《超有趣的讓人睡不著的數學》

  學生提出的簡單疑問

  

  (在某間教室里)

  某一天,學生提出了一個問題。

  老師,為什麼在除法運算當中0不能作為除數呢?

  

  學生

  對這名提出問題的學生,我決定為他做一番全面細致的解說,因為他一定是鼓足了勇氣才決定向老師提問的。

  

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  老師

  謝謝你提出了這個很好的問題。為什麼平常有想法,卻不來向老師提問呢?不用擔心被認為這太奇怪了,沒有這回事。你的疑問是經過非常認真的思考的,這是一個很重要的問題。

  為什麼這個提問那麼重要呢?

  

  好啦,快把耳朵湊過來慢慢傾聽老師的說明吧。首先呢,讓我們從再度思考何為除法這個問題出發。請看下面方框中的公式。

  ◆ 除法中“暗藏乘法”

  

  所謂除法的計算,是“求某個數是其他數的幾倍的計算”。也就是說,我們可以認為最早先有了乘法。例如6÷2是在求“6是2的幾倍”。最開始有了“將2擴大3倍即得6”的概念。這樣一來,我們就能斷定除法和乘法是相對應起來的。

  0的乘法算得的答案是......

  

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  下面讓我們來看看,用0作為除數的除法吧。

  例如,“3÷0=?”即在計算“3是0的幾倍”。用乘法的算式表示出來就是“0×?=3”。

  即,“0×?=3”→“3÷0=?”

  好啦,讓我們看一看這個算式,試著想一想“?”處究竟應該填入什麼樣的數字呢?0究竟該乘以什麼才能變成3?那樣的數字是不存在的。

  是的,“3÷0”的答案是“不存在”。

  下面還有一個問題,是有關用0來除以0的除法計算的。

  “0÷0”,讓我們像之前一樣用乘法的算式來探究一番吧。

  “(乘法算式)”→“0÷0=?”

  “(乘法算式)”處應填入的是“0×?=0”。

  那麼“?”處應填入一個最適合的數字吧?

  0×0=0

  0×1=0

  0×2=0

  0×3=0

  …

  …

  …

  能看出“?”處無論填什麼數字都能成立呢。

  因此,

  0÷0=0

  0÷0=1

  0÷0=2

  0÷0=3

  最後就變成了這個樣子。

  這便意味著“0÷0”的答案有無數個。

  “0不能作為除數”的真正原因

  

  “6÷3”是“2”,正因為答案只有唯一一個,它作為除法才有了意義。這並不僅限於除法當中,可以說所有的計算都是如此。

  “3+5” “6-4” “8-3” 中不管哪一個的答案都只有一個。然而“a÷0”的計算答案並不是唯一的。

  這正是“0不能作為除數”的原因。

  這種現象在數學中被稱為“無法定義的計算(演算)”,表示為下面方框中的內容。

  ◆ “a÷0”是無法被定義的!

  

  對於“無法定義的計算”,可能至今為止我們都未曾聽過。這是理所當然的事,因為我們從小學開始學習的計算全都是能夠定義的計算。

  我們在學習學習的數學中,都省略掉了下面這句話——“從現在開始大家所挑戰的計算,都是能夠被準確定義的。所以。只有安心計算就行了喲。”

  “用0作為除數的計算”是將這句話當中未提及的前提告知大家的絕佳方式。

  因此,“為什麼0不能作為除數”這個問題是非常重要的。

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